Теоретические материалы

Планиметрия

7. Окружность и круг

7.6. Пропорциональные отрезки в круге

Теорема 1

Если через точку, лежащую внутри круга, проведены диаметр и хорда, то произведение отрезков хорды равно произведению отрезков диаметра. Требуется доказать:  AD \cdot AE = AB \cdot AC .

Доказательство:

 \angle BAD= \angle CAE как вертикальные,  \angle DBC= \angle CED как вписанные.  \triangle ABD \sim \triangle ACE и их сходственные стороны пропорциональны:  \frac {AD} {AB} = \frac {AC } { AE }, откуда  AD \cdot AE = AB \cdot AC .

Теорема доказана.

Следствие 1

Для всех хорд, проходящих через данную точку внутри круга, произведение отрезков постоянно (  AD \cdot AE=AF \cdot AG=AB \cdot AC ).

Теорема 2

Если из точки, лежащей вне круга, проведены секущая и касательная, то произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной.
Дано: окружность,  PM и  PT — секущая и касательная. Требуется доказать:  PM \cdot PN=PT^2 .

Доказательство:

 \triangle MTP \sim \triangle TNP (  \angle P — об­щий и \angle TMN =\angle NTP , так как каждый из них измеряется  \frac { 1 } { 2 } \smile TN). Против их равных углов лежат пары сходст­венных сторон:  PM и  PT ,  PT и  PN :  \frac {PM} {PT} = \frac {PT} {PN} , откуда  PM \cdot PN = PT^2 .

Следствие 2

Для всех секущих, проходящих через данную точку вне круга, произведение секущей на ее внешнюю часть постоянно (  PM \cdot PN=PS \cdot PB=PT^2 ).

Теорема 3

Если из точки C окружности опущен перпендикуляр на диаметр, то перпендикуляр является средним пропорциональным между отрезками диаметра.
Дано:  CD \bot AB .
Требуется доказать:  CD^2=AD \cdot BD .

Теорема 4

Если из точки C окружности опущен перпендикуляр на диаметр, то хорда, соединяющая точку С с концом диаметра, есть среднее пропорциональное между диаметром и проекцией хорды на диаметр.
Дано:  CD \bot AB .
Требуется доказать:  AC^2=AB \cdot AD , CB^2=AB\cdot BD.

Доказательство:
Теоремы 3 и 4 являются следствиями теорем о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.